Question

（附加题）
（1）设集合A={1，2，3，…，10}，求集合A的所有非空子集元素和的和．
（2）在区间[2，3]上，方程log₂log₃x=log₃log₂x的实根的个数共有________ 个．

Answer 1

解：（1）由10个元素组成的集合M={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，的子集有：
∅，{1}，{2}，{3}，{4}…{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，…共2¹⁰个．
先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，包括空集
而以上2⁹个子集和元素1组合（含空集），又构成了集合M的所有非空子集中含元素1 的非空子集
即：在集合M的所有非空子集中，元素1出现了2⁹次
同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次
故集合M的所有非空子集元素和的和为：
（1+2+3+4+…+10）×2⁹=55×2⁹=28160．
（2）令log₂log₃x=log₃log₂x=t则log₃x=2^t，log₂x=3^t，
∴=，∴t＞0，①
又∵x∈[2，3]，∴log₃x∈[log₃2，1]，故log₃x=2^t≤1，∴t≤0，②，
由①②可知，不存在满足条件的t，
故原方程无解．
故答案为：0．
分析：（1）由10个元素组成的集合M的子集是指属于集合的部分或所有元素组成的集合，其中包括空集．欲求集合M的所有子集的元素和的和，先计算出包含元素1的集合：剩下的9个元素组成的集合含有2⁹个子集，包括空集，同理，在集合M的所有非空子集中，元素2、3、4、5、…、10都出现了2⁹次，从而得出集合M的所有非空子集元素和的和．
（2）令log₂log₃x=log₃log₂x=t则log₃x=2^t，log₂x=3^t，两式相除得=得出t＞0；又x∈[2，3]得到t≤0，两者矛盾，从而得出原方程无解．
点评：本题主要考查子集与真子集、数列求和、根的存在性及根的个数判断等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．