Question

18、某企业为打入国际市场，决定从A、B两种产品中只选择一种进行投资生产，已知投资生产这两种产品的有关数据如表：（单位：万美元）

	年固定成本	每件产品成本	每件产品销售价	每年最多可生产的件数
A产品	20	m	10	200
B产品	40	8	18	120

其中年固定成本与年生产的件数无关，m是待定常数，其值由生产A产品的原材料决定，预计m∈[6，8]，另外，年销售x件B产品时需上交0.05x²万美元的特别关税，假设生产出来的产品都能在当年销售出去．
（1）求该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系，并求出其定义域；
（2）如何投资才可获得最大年利润？请设计相关方案．

Answer 1

分析：（1）利润=年销售收入-固定成本-产品成本-特别关税，可求得该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y₁，y₂与生产相应产品的件数x之间的函数关系和定义域；（2）作差法比较年利润y₁，y_{2^{的大小，设确定}}计相关方案．

解答：解：（1）y₁=10x-（20+mx）=（10-m）x-20，0＜x≤200，且x∈N
y₂=18x-（8x+40）-0.05x²=-0.05x²+10x-40，0＜x≤120且x∈N
（2）∵6≤m≤8
∴10-m＞0
∴y₁=（10-m）x-20为增函数
又0≤x≤200，x∈N
∴x=200时，生产A产品有最大利润（10-m）×200-20=1980-200m（万美元）
y₂=-0.05x²+10x-40=-0.05（x-100）²+4600≤x≤120，x∈N
∴x=100时，生产B产品有最大利润460（万美元）
（y₁）_max-（y₂）_max
=1980-200m-460
=1520-200m                             
当6≤m＜7.6时，（y₁）_max-（y₂）_max＞0
当m=7.6时，（y₁）_max-（y₂）_max=0
当7.6＜m≤8时，（y₁）_max-（y₂）_max＜0
∴当6≤m＜7.6投资A产品200件可获得最大利润
当7.6＜m≤8投资B产品100件可获得最大利润
m=7.6生产A产品与B产品均可获得最大年利润．

点评：考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，属中档题．