Question

如图，椭圆的左右顶点分别为A、B，左右焦点分别为F₁、F₂，P为以F₁、F₂为直径的圆上异于F₁、F₂的动点，直线PF₁、PF₂分别交椭圆C于M、N和D、E．
（1）证明：为定值K；
（2）当K=-2时，问是否存在点P，使得四边形DMEN的面积最小，若存在，求出最小值和P坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵椭圆，
∴c²=a²-（a²-1）=1，
∴C=1，F₁（-1，0），F₂（1，0），
∵P为以F₁、F₂为直径的圆上，
即P是圆心为（0，0），半径为1的圆上一点，
∴设P（cosθ，sinθ），
∵A（-a，0），B（a，0）
∴，，
∴=（cosθ+a，sinθ）•（cosθ-a，sinθ）
=cos²θ-a²+sin²θ
=1-a²
=K（定值）．
（2）当K=-2时，1-a²=-2，a²=3，
椭圆方程为．
设DE：y=k（x+1），代入，消去y，得
（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，
设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则
，
∴=，
∴．
∵P为以F₁、F₂为直径的圆上异于F₁、F₂的动点，
∴PF₁⊥PF₂，∴DE⊥MN，
∴设MN：y=．
同理，得：
=．
∴四边形DMEN的面积

=
=，
令，得=4-，
∵，
∴当k=±1时，u=2，S=．
故四边形DMEN的面积最小值为，此时P点坐标为（0，±1）．
分析：（1）由椭圆，知c²=a²-（a²-1）=1，F₁（-1，0），F₂（1，0），设P（cosθ，sinθ），能证明=K（定值）．
（2）当K=-2时，椭圆方程为．设DE：y=k（x+1），代入，得（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0，设D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），则．由DE⊥MN，同理，得：=．由此能求出四边形DMEN的面积最小值和此时P点坐标．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，综合性强，是高考的重点．本题具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．