Question

如图①，四边形ABCD为等腰梯形，AE⊥DC，AB=AE=

1

3

DC，F为EC的中点，现将△DAE沿AE翻折到△PAE的位置，如图②，且平面PAE⊥平面ABCE．

（Ⅰ）求证：平面PAF⊥平面PBE；
（Ⅱ）求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（I）先证明四边形AEFB为正方形，可证得BE⊥AF；再利用面面垂直的性质，证得线面垂直，再得PE⊥AF，由此可证AF⊥平面PBE，从而证明面面垂直；
（Ⅱ）求出

PF

，平面PBC的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求直线PF与平面PBC所成角的正弦值．

解答：（I）证明：∵EF∥AB，AB=EF=

1

3

CD，
∴四边形AEFB为平行四边形，又AE=AB，AE⊥CD，
∴四边形AEFB为正方形，∴BE⊥AF，
∴平面PAE⊥平面ABCE，PE⊥AE，平面PAE∩平面ABCE=AE，
∴PE⊥平面ABCE，∴PE⊥AF，
又PE∩BE=E，∴AF⊥平面PBE，
∵AF?平面PAF，
∴平面PBE⊥平面PAF；
（Ⅱ）解：建立如图所示的装不下，设AB=4，则P（0，0，4），A（0，4，0），B（4，4，0），C（8，0，0），F（4，0，0），
∴

PF

=(4，0，-4)，

BC

=(4，-4，0)，

PB

=(4，4，-4)，
设

n

=（x，y，z）为平面PBC的一个法向量，则

4x-4y=0 4x+4y-4z=0

，∴可去

n

=（1，1，2），
∴sinα=|

PF • n

| PF || n |

|=

3

6

，
∴直线PF与平面PBC所成角的正弦值为

3

6

．

点评：本题考查了面面垂直的证明，考查线面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．