Question

海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A处，如图．现假设：
①失事船的移动路径可视为抛物线y=

12

49

x2；
②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；
③救援船出发t小时后，失事船所在位置的横坐标为7t．
（1）当t=0.5时，写出失事船所在位置P的纵坐标．若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；
（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？

Answer 1

分析：（1）t=0.5时，确定P的横坐标，代入抛物线方程可得P的纵坐标，利用|AP|，即可确定救援船速度的大小和方向；
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t²），从而可得v关于t的关系式，利用基本不等式，即可得到结论．

解答：解：（1）t=0.5时，P的横坐标x_P=7t=

7

2

，代入抛物线方程y=

12

49

x2中，得P的纵坐标y_P=3．
由|AP|=

949

2

，得救援船速度的大小为

949

海里/时．
由tan∠OAP=

7

30

，得∠OAP=arctan

7

30

，故救援船速度的方向为北偏东arctan

7

30

弧度；
（2）设救援船的时速为v海里，经过t小时追上失事船，此时位置为（7t，12t²）．
由vt=

(7t)2+(12t2+12)2

，整理得v2=144（t2+

1

t2

）+337
因为t2+

1

t2

≥2，当且仅当t=1时等号成立，所以v²≥144×2+337=25²，即v≥25．
因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船．

点评：本题主要考查函数模型的选择与运用．选择恰当的函数模型是解决此类问题的关键，属于中档题．