Question

【题目】己知A，B分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，O为坐标原点，＝﹣4，△PAB的面积的最大值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C上存在两点M，N，分别满足OM∥PA，ON∥PB，求|OM||ON|的最大值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

(1)根据数量积求得a2＝2.再根据△PAB的面积的最大值为可求得b＝1.

(2) 设P（x0,y0）可证明,再设M（）,N（）从而得出的关系,再利用三角函数与基本不等式的方法求最大值即可.

（1）由,得﹣2a2＝﹣4,即a2＝2．当P为椭圆上、下顶点时,△PAB面积最大,

则,即b＝1．∴椭圆方程为；

（2）设P（x0,y0）,＝．

设M（）,N（）,由,

即sinαsinβ+cosαcosβ＝0,∴cos（α﹣β）＝0,得,k∈Z．

∴cos2β＝sin2α,sin2β＝cos2α．

|OM||ON|＝＝＝．

等号成立时,,比如M（1,）,N（﹣1,）．