Question

在以O为原点的直角坐标系中，点A（4，-3）为△OAB的直角顶点，若|AB|=2|OA|，且点B的纵坐标大于0
（1）求向量的坐标；
（2）是否存在实数a，使得抛物线y=ax²-1上总有关于直线OB对称的两个点？若存在，求实数a的取值范围，若不存在，说明理由；

Answer 1

【答案】分析：（1）假设向量的值，根据|AB|=2|OA|、AB⊥OA得到方程组可解出向量的坐标．
（2）设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）为抛物线上关于直线OB对称的两点，根据对称性找出x₁，y₁，x₂，y₂的关系，联立方程可解．
解答：解：（1）设，
则由，得
解得或
因为
所以υ-3＞0，υ=8
故=（6，8）；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2）为
抛物线上关于直线OB对称的两点，
则，又因为
可得
即x1，x2为方程的两个相异实根
于是，由，可得
故当时，
抛物线y=ax2-1上总有关于直线OB对称的两个点．
点评：本题主要考查向量的基本运算和对称点的问题．向量运算是高考必考题，注意运算法则的记忆．