Question

已知某四面体的六条棱长分别为，，，，，，则两条较长棱所在直线所成角的余弦值为    ．

Answer 1

【答案】分析：当较长的两条棱是四面体相对的棱时，根据三角形两边之和大于第三边出现矛盾，得此种情况不存在；当它们是四面体相邻的棱时，根据余弦定理可以算出所成角的余弦之值，由此可得正确答案．
解答：解：①当较长的两条棱是四面体相对的棱时，
如图中的左图，取CD中点E，则
∵等腰△BCD中，中线BE⊥CD，等腰△ACD中，中线AE⊥CD，
AE、BE是平面ABE内的相交直线
∴CD⊥平面ABE，结合AB⊆平面ABE，可得AB⊥CD
此时两条较长棱所在直线所成角的余弦值为cos90°=0，
检验：此时△ABE中，AE=BE=，不满足AE+BE＞AB，
故此种情况舍去；
②当较长的两条棱是四面体相邻的棱时，如图中的右图
设所成的角为θ，根据余弦定理得cosθ==
综上所述，得所求余弦值为0或
故答案为：
点评：本题在四面体中求两条棱所在直线所成角的余弦值，着重考查了余弦定理、线面垂直的判定与性质和异面直线所成角等知识，属于基础题．