Question

已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一定点，并且A点到l₁，l₂的距离分别为3和4，B是直线l₂上一动点，作AC⊥AB，且使AC与直线l₁交于点C，则△ABC面积的最小值为（　　）

A．24

B．12

C．8

D．6

Answer 1

分析：过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F．由直角三角形中三角函数的定义，算出AC=

3

cosθ

且AB=

4

sinθ

，从而得到△ABC面积S=

1

2

AB•AC=

12

sin2θ

，利用正弦函数的有界性，可得θ=

π

4

时△ABC面积有最小值12．

解答：解：过A作l₁、l₂的垂线，分别交l₁、l₂于E、F
则AE=3，AF=4
设∠FAC=θ，则Rt△ACF中，AC=

AF

cosθ

=

3

cosθ

Rt△ABE中，∠ABE=θ
可得AB=

AE

sinθ

=

4

sinθ

∴△ABC面积为S=

1

2

AB•AC=

6

sinθcosθ

=

12

sin2θ

∵θ∈（0，

π

2

）
∴当且仅当θ=

π

4

时，sin2θ=1达到最大值1，
此时△ABC面积有最小值12
故选：B

点评：此题考查了直角三角形中锐角三角函数定义，正弦函数的定义域及值域及二倍角的正弦函数公式，利用了数形结合的思想，属于中档题．