Question

如图，棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=2

2

．
（1）求证：BD⊥平面PAC；
（2）求二面角P-CD-B余弦值的大小；
（3）求点C到平面PBD的距离．

Answer 1

分析：（1）证明直线BD所在的向量与平面内两个不共线的向量垂直，即可得到直线与平面内的两条相交直线垂直，进而得到线面垂直．
（2）由题意求出两个平面的法向量，求出两个向量的夹角，进而转化为二面角P-CD-B的平面角即可．
（3）求出平面PBD的法向量，再求出平面的斜线PC所在的向量

PC

，然后求出

PC

在法向量上的射影即可得到点到平面的距离．

解答：解：（1）建立如图所示的直角坐标系，
则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）．
在Rt△BAD中，AD=2，BD=2

2

，
∴AB=2．∴B（2，0，0）、C（2，2，0），
∴

AP

=(0，0，2)，

AC

=(2，2，0)，

BD

=(-2，2，0)
∵

BD

•

AP

=0，

BD

•

AC

=0，即BD⊥AP，BD⊥AC，
又因为AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC．
解：（2）由（1）得

PD

=(0，2，-2)，

CD

=(-2，0，0)．
设平面PCD的法向量为

n1

=(x，y，z)，
则

n1

•

PD

=0，

n1

•

CD

=0，
即

0+2y-2z=0 -2x+0+0=0

，
∴

x=0 y=z

，故平面PCD的法向量可取为

n1

=(0，1，1)
∵PA⊥平面ABCD，
∴

AP

=(0，01)为平面ABCD的法向量．
设二面角P-CD-B的大小为θ，依题意可得cosθ=|

n1 • AP

| n1 |•| AP |

|=

2

2

．
（3）由（Ⅰ）得

PB

=(2，0，-2)，

PD

=(0，2，-2)，
设平面PBD的法向量为

n2

=(x，y，z)，
则

n2

•

PB

=0，

n2

•

PD

=0，即

2x+0-2z=0 0+2y-2z=0

，
∴x=y=z，故可取为

n2

=(1，1，1)．
∵

PC

=(2，2，-2)，
∴C到面PBD的距离为d=|

n2 • PC

| n2 |

|=

2 3

3

点评：解决此类问题的关键是熟悉几何体的结构特征，以便建立空间直角坐标系利用向量的基本运算解决线面共线、空间角与空间距离等问题．