练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
    某地区原森林木材存量为a，且每年增长率为25%，因生产建设的需要每年年底要砍伐的木材量为b，设an为n年后该地区森林木材存量
    （1）计算a1，a2，a3的值；
    （2）由（1）的结果，推测an的表达式，并用数学归纳法证明你的结论；
    （3）为保护生态环境，防止水土流失，该地区每年的森林木材存量应不少于
    7
    9
    a，如果b=
    19
    72
    a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？（取lg2≈0.30）
    分析：（1）依题意，可求得a1=
    5
    4
    a-b，同理可求得a2=(
    5
    4
    )    2    a-（
    5
    4
    +1）b，a3=(
    5
    4
    )    3    a-[(
    5
    4
    )    2    +
    5
    4
    +1]b；
    （2）由（1）可推测an=(
    5
    4
    )    n    a-[(
    5
    4
    )    n-1    +(
    5
    4
    )    n-2    +…+
    5
    4
    +1]b=(
    5
    4
    )    n    a-4[(
    5
    4
    )    n    -1]b（n∈N*），利用数学归纳法证明即可；
    （3）依题意知，(
    5
    4
    )    n    a-4[(
    5
    4
    )    n    -1]×
    19
    72
    a＜
    7
    9
    a⇒(
    5
    4
    )    n    ＞5，两边取对数即可求得n的近似值．
    解答：解：（1）a1=a（1+
    1
    4
    ）-b=
    5
    4
    a-b，
    a2=
    5
    4
    a1-b=
    5
    4
    （
    5
    4
    a-b）-b=(
    5
    4
    )    2    a-（
    5
    4
    +1）b，
    a3=
    5
    4
    a2-b=(
    5
    4
    )    3    a-[(
    5
    4
    )    2    +
    5
    4
    +1]b，
    （2）由（1）可推测
    an=(
    5
    4
    )    n    a-[(
    5
    4
    )    n-1    +(
    5
    4
    )    n-2    +…+
    5
    4
    +1]b
    =(
    5
    4
    )    n    a-4[(
    5
    4
    )    n    -1]b（n∈N*）．
    证明如下：①当n=1时，a1=a（1+
    1
    4
    ）-b=
    5
    4
    a-b，已证推测成立．
    ②假设n=k时，ak=(
    5
    4
    )    k    a-4[(
    5
    4
    )    k    -1]b（k∈N*）成立，
    则当n=k+1时，
    ak+1=
    5
    4
    ak-b=
    5
    4
    {(
    5
    4
    )    k    a-4[(
    5
    4
    )    k    -1]b}-b
    =(
    5
    4
    )    k+1    a-4[(
    5
    4
    )    k+1    -1]b，
    故当n=k+1时，推测也成立．
    由①②知，对n∈N*推测成立．
    （3）当b=
    19
    72
    a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必须少于
    7
    9
    a，
    ∴(
    5
    4
    )    n    a-4[(
    5
    4
    )    n    -1]×
    19
    72
    a＜
    7
    9
    a，
    即(
    5
    4
    )    n    ＞5．
    两边取对数得：nlg
    5
    4
    ＞lg5，n＞
    lg5
    lg5-2lg2
    =
    1-lg2
    1-3lg2
    ≈7，
    ∴经过8年后该地区就开始水土流失．
    点评：本题考查等差数列与等比数列的求和，突出考查数学归纳法的应用，属于难题．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    同步练习册答案