Question

【题目】“杨辉三角”是我国数学史上的一个伟大成就，是二项式系数在三角形中的一种几何排列.如图所示，去除所有为1的项，依此构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…，则此数列的前56项和为_____.

Answer 1

【答案】4084

【解析】

先利用次二项式系数对应杨辉三角形的第行，求出杨辉三角形的前项和，再结合杨辉三角形去除所有为1的项后，由最左侧一列的特征，根据等差数列求解即可.

次二项式系数对应杨辉三角形的第行，如，系数分别为1,2,1，对应杨辉三角形的第3行；

令，就可以求出该行的系数之和，第一行为，第二行为，第三行为，以此类推，即每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列；

则杨辉三角形的前项和为；

若去除所有为1的项，则剩下的每一行的个数为1,2,3,4，……，可以看成是以1为首项，以1为公差的等差数列，则；

由此可得，当，再加上第11行的第一项，所有项的个数为56，

由于最左侧为2,3,4,5，……，是以2为首项，1为公差的等差数列，故第11行的第一项为12，

又杨辉三角形的前12项的和为，

则此数列的前56项和为.

故答案为4084