Question

已知函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2，（x∈R）．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的最大值及其相对应的x值；
（3）写出函数的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角的余弦与正弦可将函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2转化为y=4sin（2x+

π

6

），利用三角函数的周期公式即可求得函数的最小正周期；
（2）利用正弦函数的性质可求y_max，由2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z）可求其取最大值时相对应的x值；
（3）利用正弦函数的单调性即可求得函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2的单调增区间．

解答：解：（1）∵y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2
=2（1+cos2x）+2

3

sn2x-2
=2

3

sin2x+2cos2x
=4（

3

2

sin2x+

1

2

cos2x）
=4sin（2x+

π

6

），
∴其最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）当2x+

π

6

=2kπ+

π

2

（k∈Z），即x=kπ+

π

6

（k∈Z）时，y_max=4；
（3）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
得-

π

3

+kπ≤x≤

π

6

+kπ（k∈Z），
∴函数y=4cos²x+4

3

sinxcosx-2的单调增区间为[-

π

3

+kπ，

π

6

+kπ]（k∈Z）．

点评：本题考查二倍角的余弦与正弦，考查正弦函数的单调性与最值，考查三角函数的周期及其求法，属于中档题．