Question

已知函数的定义域为且，对任意都有

数列满足N.证明函数是奇函数;求数列的通项公式;令N, 证明:当时,.

(本小题主要考查函数、数列、不等式等知识,  考查化归与转化、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识)

Answer 1

【解析】（1）由于对任意，都有，

    令，得，解得. …… 1分

    令，得，∵，

   ∴，即.…… 2分 ∴函数是奇函数.  …… 3分

（2）解：先用数学归纳法证明.①当时，，得, 结论成立.

②假设时, 结论成立, 即,当时,  由于, ,

又.∴.即时, 结论也成立.

由①②知对任意N, .…… 4分

求数列的通项公式提供下面两种方法.

 法1:.…………… 5分

 ∵函数是奇函数， ∴. ∴.  …… 6分

    ∴数列是首项为，公比为的等比数列.

  ∴数列的通项公式为.  ……… 7分

法2:  ∵  …… 5分

    , ∴.… 6分

   ∴数列是首项为，公比为的等比数列.

   ∴数列的通项公式为.………… 7分

（3）证法1：由（2）知，∵，

∴.   … 8分∴N，且

∴N,且.… 9分当且N时,

 …… 10分

…… 11分     .  

∴.  … 12分∵,∴当时,.… 13分

∴当时,.  14分

  ………… 12分

  

     

右边.……… 13 ∴时，不等式也成立.

 由①②知，当时,成立.………… 14分

证法3：由（2）知，故对，有

.… 8分