Question

设定函数f（x）=

a

3

x³+bx²+cx+d（a＞0），且方程f′（x）-9x=0的两个根分别为1，4．
（Ⅰ）当a=3且曲线y=f（x）过原点时，求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若f（x）在（-∞，+∞）无极值点，求a的取值范围．

Answer 1

分析：先对函数f（x）进行求导，然后代入f′（x）-9x=0中，再由方程有两根1、4可得两等式；
（1）将a的值代入即可求出b，c的值，再由f（0）=0可求d的值，进而确定函数解析式．
（2）f（x）在（-∞，+∞）无极值点即函数f（x）是单调函数，且可判断是单调增函数，再由导函数大于等于0在R上恒成立可解．

解答：解：由得f′（x）=ax²+2bx+c
因为f′（x）-9x=ax²+2bx+c-9x=0的两个根分别为1，4，所以

a+2b+c-9=0 16a+8b+c-36=0

（*）
（Ⅰ）当a=3时，又由（*）式得

2b+c-6=0 8b+c+12=0

解得b=-3，c=12
又因为曲线y=f（x）过原点，所以d=0
故f（x）=x³-3x²+12x
（Ⅱ）由于a＞0，所以“f(x)=

a

3

x3+bx2+cx+d在（-∞，+∞）内无极值点”等价于“f′（x）=ax²+2bx+c≥0在（-∞，+∞）内恒成立”．
由（*）式得2b=9-5a，c=4a．
又△=（2b）²-4ac=9（a-1）（a-9）
解

a＞0 △=9(a-1)(a-9)≤0

得a∈[1，9]
即a的取值范围[1，9]

点评：本题主要考查函数的单调性、极值点与其导函数之间的关系．属基础题．