Question

已知函数f（x）=x-sinx-

1

3

ax³，其中a∈R．
（1）当a=1时，求函数g（x）=f（x）+sinx的极值；
（2）当a＜0时，证明：函数f（x）在R是单调函数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：常规题型,导数的综合应用

分析：第（1）问，求函数g（x）=f（x）+sinx的极值，要先判断函数的单调性，从而确定函数的极大值和极小值分别当x取何值时取到；第（2）问证明函数在R上是单调函数，转化成证明它的导数值在R上恒大于等于0的问题解决．

解答： 解：（1）当a=1时，g（x）=x-sinx-

1

3

x3+sinx=x-

1

3

x3
    g′（x）=1-x²令 g′（x）=1-x²=0，得x=±1，
   列表：

x	（-∞，-1）	-1	（-1，1）	1	（1，+∞）
g′（x）	-	0	+	0	-
g（x）	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

∴g（x）_极小值=g（-1）=-

2

3

，g（x）_极大值=g（1）=

2

3

；
（2）f′（x）=1-cosx-ax²，
∵a＜0，∴-ax²≥0，
∵cosx≤1，∴1-cosx≥0
∴f′（x）=1-cosx-ax²≥0，
∴当a＜0时，函数f（x）在R是单调函数．

点评：本题是利用导数研究函数的单调性和极值的基本问题，第（2）问的关键是把问题转化成导数在R上恒大于等于0的问题解决，考查了转化的思想．