Question

17．设a∈R，函数f（x）=cosx（2asinx-cosx）+sin²x的图象的一条对称轴是直线$x=-\frac{π}{6}$．
（Ⅰ）求$f（-\frac{π}{3}）$的值和a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （I）解法一：由函数图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称，可得$f（-\frac{π}{3}）$=f（0）=-1，进而得到a值；
解法二：利用二倍角公式和和差角（辅助角）公式，可得f（x）=asin2x-cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x-φ），进而根据正弦函数的对称性，可得-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，解得a值，可得$f（-\frac{π}{3}）$的值；
（Ⅱ）当x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，结合正弦函数的图象和性质，可得函数f（x）在$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$上的最大值和最小值．

解答 解：（Ⅰ）解法一：∵函数图象关于直线$x=-\frac{π}{6}$对称，
∴$f（-\frac{π}{3}）$=f（0）=-cos²0=-1，
即$\frac{1}{2}$（-$\sqrt{3}a$-$\frac{1}{2}$）+$\frac{3}{4}$=-1，
解得：a=$\sqrt{3}$，
故f（x）=cosx（2$\sqrt{3}$sinx-cosx）+sin²x
=2$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x+sin²x
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）
解法二：∵f（x）=cosx（2asinx-cosx）+sin²x=2asinxcosx-cos²x+sin²x=asin2x-cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$sin（2x-φ）的图象的一条对称轴是直线$x=-\frac{π}{6}$．
故当$x=-\frac{π}{6}$时，asin2x-cos2x=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，或asin2x-cos2x=-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
即-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，或-$\frac{\sqrt{3}}{2}$a-$\frac{1}{2}$=-$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
解得：a=$\sqrt{3}$，
故f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
故$f（-\frac{π}{3}）$=2sin（-$\frac{5π}{6}$）=-1，
（Ⅱ）当x∈$[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$时，2x-$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
故当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时，函数f（x）取最大值2；
当2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，即x=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取最小值1；

点评 本题考查的知识点是正弦型函数的图象和性质，二倍角公式和和差角（辅助角）公式，难度中档．