Question

已知函数f（x）=log_a（1-x）+log_a（x+3）
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）求函数f（x）在[-2，0]上的最小值和最大值．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）

1-x＞0 x+3＞0

求解即可，
（2）根据零点定义得出（1-x）（x+3）=1求解，在运用定义域判断即可．
（3）f（x）=log_a（-x²-2x+3）=log_a[-（x+1）²+4]，换元得出t（x）=-（x+1）²+4，求出最大值，最小值，分类利用单调性求解即可．

解答： 解：（1）∵

1-x＞0 x+3＞0

解得；-3＜x＜1
∴定义域为（-3，1）
（2）令f（x）=0，
即（1-x）（x+3）=1，
得出；x=-1±

3

∵-3＜x＜1，
∴零点-1±

3

．
（3）f（x）=log_a（-x²-2x+3）=log_a[-（x+1）²+4]，
令t（x）=-（x+1）²+4，x在[-2，0]上的最小值t（0）=3，最大值t（-1）=4．
当a＞1时，函数f（x）在[-2，0]上的最小值log_a3，最大值log_a4．
当0＜a＜1时，函数f（x）在[-2，0]上的最小值log_a4，最大值log_a3．

点评：本题考查了对数函数的图象和性质，函数的零点，分类讨论的思想，属于中档题，难度不大．