Question

（2013•温州二模）已知

a

=（2cosx，sinx），

b

=（0，

3

cosx），f（x）=|

a

+

b

|
（I）求f(

π

6

)的值
（II）当x∈(0，

π

3

)时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）由题意可得

a

+

b

的坐标，由向量的模长公式可得f（x）的表达式，化简后代入数值计算可得；
（II）由x的范围可得2x+

π

3

的范围，可得sin（2x+

π

3

）的范围，可得结论．

解答：解：（I）由题意可得

a

+

b

=（2cosx，sinx+

3

cosx），
∵f（x）=

(2cosx)2+(sinx+ 3 cosx)2

 …（2分）
=

7cos2x+sin2x+2 3 sinxcosx

=

1+3(1+cos2x)+ 3 sin2x

…（4分）
=

4+2 3 sin(2x+ π 3 )

…（6分）
∴f(

π

6

)=

4+2 3 sin(2× π 6 + π 3 )

=

4+2 3 × 3 2

=

7

 …（7分）
（II）∵x∈(0，

π

3

)，∴2x+

π

3

∈（

π

3

，π） …（9分）
∴sin（2x+

π

3

）∈（0，1]，∴2＜f（x）≤

4+2 3

=

3

+1，
∴f（x）∈（2，

3

+1]…（14分）

点评：本题考查两角和与查的三角函数，涉及向量的模长和正弦函数的定义域，属中档题．