Question

从函数角度看，组合数可看成是以r为自变量的函数f（r），其定义域是{r|r∈N，r≤n}．
（1）证明：；
（2）利用（1）的结论，证明：当n为偶数时，（a+b）ⁿ的展开式中最中间一项的二项式系数最大．

Answer 1

（1）证明：∵f（r）==，而 f（r-1）==，
∴•f（r-1）=•=，
故成立．
（2）证明：当n为偶数时，设n=2k，k∈z，∵，f（r-1）＞0．
∴=．
令f（r）≥f（r-1），可得≥1，∴r≤k+ （等号不成立）．
∴当r=1，2，3…k时，f（r）＞f（r-1）成立；
反之，当r=k+1，k+2，k+3…2k时，f（r）＜f（r-1）成立．
故f（k）=最大，即（a+b）ⁿ的展开式中最中间一项的二项式系数最大．
分析：（1）先根据组合数公式求出f（r）、f（r-1），计算 •f（r-1）的值，从而证得结论．
（2）设n=2k，k∈z，由（1）可得 =，令f（r）≥f（r-1），可得r≤k+ （等号不成立）．故有当r=1，2，3…k时，f（r）＞f（r-1）成立；当r=k+1，k+2，k+33…2k时，f（r）＜f（r-1）成立．故f（k）=最大，从而证得结论．
点评：本题主要考查组合及组合数公式，二项式定理的应用以及二项式系数的性质，属于基础题．