Question

已知A、B、C、D为圆O上的四点，直线DE为圆O的切线，AC∥DE，AC与BD相交于H点
（Ⅰ）求证：BD平分∠ABC
（Ⅱ）若AB=4，AD=6，BD=8，求AH的长．

Answer 1

分析：（Ⅰ）证明BD平分∠ABC可通过证明D是

AC

的中点，利用相等的弧所对的圆周角相等证明BD是角平分线；
（Ⅱ）由图形知，可先证△ABH∽△DBC，得到

AH

CD

=

AB

BD

，再由等弧所对的弦相等，得到AD=DC，从而得到

AH

AD

=

AB

BD

，求出AH的长

解答：解：（Ⅰ）∵AC∥DE，直线DE为圆O的切线，∴D是弧

AC

的中点，即

AD

=

DC

又∠ABD，∠DBC与分别是两弧

AD

，

DC

所对的圆周角，故有∠ABD=∠DBC，
所以BD平分∠ABC
（Ⅱ）∵由图∠CAB=∠CDB且∠ABD=∠DBC
∴△ABH∽△DBC，∴

AH

CD

=

AB

BD

又

AD

=

DC

∴AD=DC，
∴

AH

AD

=

AB

BD

∵AB=4，AD=6，BD=8
∴AH=3

点评：本题考查与圆有关的比例线段，解题的关键是对与圆有关性质掌握得比较熟练，能根据这些性质得出角的相等，边的相等，从而使问题得到证明