Question

定义：若数列{a_n}对任意的正整数n，都有|a_n+1|+|a_n|=d（d为常数），则称{a_n}为“绝对和数列”，d叫做“绝对公和”，已知“绝对和数列”{a_n}中，a₁=2，“绝对公和”d=2，则其前2012项和S₂₀₁₂的最小值为

-2008

．

Answer 1

分析：利用“绝对和数列”的定义写出数列的前几项找出规律，当n为偶数时a_n为0；当n为奇数且不为1时，|a_n|=2，为使和最小，令非0的数都取-2 （首项除外），从而可求其前2012项和S₂₀₁₂的最小值．

解答：解：∵|a_n+1|+|a_n|=2，a₁=2，
∴a₂=0，
∴|a₃|=2
∴a₄=0，
∴|a₅|=0
…
∴|a₁|=|a₃|=|a₅|=…=|a₂₀₁₁|=2，
a₂=a₄=…=a₂₀₁₂=0，
为使前2012项和S₂₀₁₂最小，
则a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=-2，
∴前2012项和S₂₀₁₂的最小值为：2+（-2）×1005=-2008．
故答案为：-2008．

点评：本题考查求数列的求和，考查对新概念“绝对和数列”的理解与应用，考查分类讨论思想，令a₃=a₅=…=a₂₀₁₁=-2是解题的关键，属于中档题．