Question

椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是

3

，则这个椭圆方程为

x2

12

+

y2

9

=1或

y2

12

+

x2

9

=1

．

Answer 1

分析：当焦点在x轴时，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由题意得到a=2c，进而根据焦点到椭圆上的点的最短距离是

3

求得a和b，进而得到椭圆的方程；当焦点在y轴时，同理可得椭圆方程的方程．

解答：解：当焦点在x轴时，设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由题意知a=2c，a-c=

3

，
解得a=2

3

，c=

3

，
所以b²=9，所求的椭圆方程为

x2

12

+

y2

9

=1．
同理，当焦点在y轴时，所求的椭圆方程为

x2

9

+

y2

12

=1．
故答案为：

x2

12

+

y2

9

=1或

y2

12

+

x2

9

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的标准方程、椭圆的简单性质．要特别注意椭圆的焦点在x轴还是在y轴．