Question

19.已知k>0,直线l₁:y＝kx,l₂:y＝－kx.

19题图

   (Ⅰ)证明:到l₁、l₂的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆；

　 (Ⅱ)求到l₁、l₂的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹.

Answer 1

19.本小题主要考查直线、圆、椭圆的方程和性质,曲线和方程的关系,轨 迹的概念和求法.利用方程判定曲线的性质等解析几何的基本思想和综 合运用知识的能力.

 解: (Ⅰ)设点P(x,y)为动点,则

　　＋＝a,

 整理得

＋＝1.

 因此,当k＝1时,动点的轨迹为圆；当k≠1时,动点的轨迹为椭圆.

　 (Ⅱ)设点P(x,y)为动点,则

　 |y－kx|+|y+kx|＝c.

   当y≥k|x|时,y－kx+y+kx＝c,即y＝c;

  当y≤－k|x|时,kx－y－y－kx＝c,即

y＝－c;

 当－k|x|<y<k|x|,x>0时,kx－y+y+kx＝c,即

x＝c;

 当－k|x|<y<k|x|,x<0时,y－kx－y－kx＝c,即

x＝－c.

  综上,动点的轨迹为矩形.