Question

设，为不同的两点，直线，，
以下命题中正确的序号为（   ）．
不论为何值，点N都不在直线上；
若，则过M，N的直线与直线平行；
若，则直线经过MN的中点；
若，则点M、N在直线的同侧且直线与线段MN的延长线相交．

A．(1)(2)(3)

B．(2)(3)(4)

C．(1)(3)(4)

D．(1)(2)(3)(4)

Answer 1

D

分析：
（1）根据δ中的分母不为0，即可判断点N不在直线l上；
（2）δ=1时，分b不等于0和等于0两种情况考虑，当b不为0时，根据δ=1，化简后得到直线MN的斜率与直线l的斜率相等，且点N不在直线l上，进而得到两直线平行；当b为0时，根据δ=1推出直线l与直线MN的斜率都不存在，进而得到两直线平行；
（3）当δ=-1时，化简后得到线段MN的中点满足直线l的解析式，进而得到MN的中点在直线l上；
（4）根据δ大于1，得到ax₁+by₁+c与ax₂+by₂+c同号且|ax₁+by₁+c|大于|ax₂+by₂+c|，进而得到点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交，综合可得答案。
解答：
（1）因为δ=中，ax₂+by₂+c≠0，所以点N（x₂，y₂）不在直线l上，本选项正确；
（2）当b≠0时，根据δ=1，得到=1，化简得：y₂-y₁/ x₂-x=-a/b，即直线MN的斜率为- a/b，
又直线l的斜率为- a/b，由（1）知点N不在直线l上，得到直线MN与直线l平行；
当b=0时，根据δ=1，得到=1，
化简得：x₁=x₂，直线MN与直线l的斜率不存在，都与y轴平行，
由（1）知点N不在直线l上，得到直线MN与直线l平行，
综上，当δ=1，直线MN与直线l平行，本选项正确；
（3）当δ=-1时，得到=-1，
化简得：a?（x₁+x）/2+b?（y₁+y₂）/2+c=0，而线段MN的中点坐标为（（x₁+x）/2，（y₁+y₂）/2）。所以直线l经过MN的中点，本选项正确；
（4）当δ＞1时，得到＞1，
即（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，所以点M、N在直线l的同侧，
且|ax₁+by₁+c|＞|ax₂+by₂+c|，得到点M与点N到直线l的距离不等，所以延长线与直线l相交，本选项正确。
所以命题中正确的序号为：（1）、（2）、（3）、（4）。
点评：此题考查学生掌握一点是否在已知直线上的判别方法，掌握两直线平行时满足的条件，是一道中档题。