Question

17．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为e=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，过右焦点F（c，0）且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，设直线y=t（t＞0）与椭圆E交于不同的两点A、B．以线段AB为直径作圆M．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若圆M与x轴相切，求圆M的方程；
（3）过点P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）作圆M的弦，求最短弦的长．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率即通径公式即可求得a和b的值，求得椭圆标准方程；
（2）求得A点坐标，代入椭圆方程，求得t的值，即可求得圆心及半径，求得圆M的方程；
（3）由（2）可知：过M的最短弦，过P且垂直于MP，利用勾股定理及两点之间的距离公式，即可求得最短弦的长．

解答 解：（1）由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，则c=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，则$\frac{2{b}^{2}}{a}$=$\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$，
∴a²=b²+c²，解得：a²=12，b²=4，
∴椭圆E的标准方程$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）由题意可知：A（t，t）在椭圆上，$\frac{{t}^{2}}{12}+\frac{{t}^{2}}{4}=1$，解得：t=$\sqrt{3}$，
∴圆M的方程x²+（y-$\sqrt{3}$）²=3，
（3）由（$\frac{\sqrt{3}}{2}$）²+（$\frac{\sqrt{3}}{2}$-$\sqrt{3}$）²=$\frac{3}{2}$＜3，则P（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）在圆M内，
圆M的圆心为（0，$\sqrt{3}$），半径为$\sqrt{3}$，
则过M的最短弦，过P且垂直于MP，
则弦长$\sqrt{{r}^{2}-丨MP{丨}^{2}}$=2$\sqrt{3-[（\frac{\sqrt{3}}{2}{-0）}^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}{-\sqrt{3}）}^{2}]}$=$\sqrt{6}$，
最短弦的长$\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆的标准方程，考查计算能力，属于中档题．