Question

倒圆锥形容器的轴截面是正三角形，内盛水的深度为6 cm，水面距离容器口距离为1 cm，现放入一个棱长为4 cm的正方体实心铁块，让正方体一个面与水平面平行，问容器中的水是否会溢出？

Answer 1

解析：如图甲所示：

O′P=6 cm,OO′=1 cm.当正方体放入容器后，一部分露在容器外面，看容器中的水是否会溢出，只要比较圆锥中ABCD部分的体积和正方体位于容器口以下部分的体积即能判定.

如图甲，设水的体积为V₁，容器的总容积为V，则容器尚余容积为V?V₁.

由题意得，O′P=6,OO′=1.

∴OP=7,OA²=,O′C²=12,

∴V=πOA²×7=×49π,

V₁=πO′C²×6=24π.

∴未放入铁块前容器中尚余的容积为

V-V₁=×49π-24π≈44.3 cm³.

如图所示，放入铁块后，EMNF是以铁块下底面对角线作圆锥的轴截面.

∴MN=，∴O₁M=，O₁P=，∴GM=7-，

∴正方体位于容器口下的体积为

4×4×(7-)=112-≈33.6＜44.3,

∴放入铁块后容器中的水不会溢出.