Question

【题目】（1）研究函数f（x）在（0，π）上的单调性；

（2）求函数g（x）＝x2+πcosx的最小值．

Answer 1

【答案】（1）f（x）在（0，π ）递减；（2）.

【解析】

（1）根据，求导得，设m（x）＝xcos x﹣sinx，x∈（0，π），通过求导来判断其正负，从而得到f′（x）的正负，进而研究f（x）的单调性.

（2）易知g（x）是偶函数，故只需求x∈[0，+∞）时g（x）的最小值，求导得g′（x）＝2x﹣πsin x，根据sinx的特点，分x∈（0，）和时两种情况讨论g（x）单调性，进而求其最小值.

（1）因为，所以，

设m（x）＝xcos x﹣sinx，x∈（0，π），

m′（x）＝﹣xsin x＜0，

所以m（x）在（0，π ）递减，则m（x）＜m（0）＝0

故f′（x）＜0，所以f（x）在（0，π ）递减；

（2）观察知g（x）为偶函数，故只需求x∈[0，+∞）时g（x）的最小值，

由g′（x）＝2x﹣πsin x，当x∈（0，） 时，设n（x）＝2x﹣π sin x，则n′（x）＝2﹣π cos x，显然 n′（x） 递增，

而n′（0）＝2﹣π＜0，，

由零点存在定理，存在唯一的，使得n′（x0）＝0

当x∈（0，x0）时，n′（x）＜0，n（x）递减，

当时，n′（x）＞0，n（x）递增，

而n（0）＝0，，故时，n（x）＜0，

即时，g′（x）＜0，则g（x）递减；

又当时，2x＞π＞π sin x，g′（x）＞0，g（x） 递增；

所以．