Question

高中2010级某数学学习小组共有男生4人，女生3人．
（1）7个人站成一排，甲、乙两人中间恰好有2人的站法有多少种？
（2）排队合影，男生甲不站两边，女生乙、丙必须相邻的排法总数为多少？
（3）7人站成一排，甲与乙相邻且丙与丁不相邻，有多少种排法？
（4）现有6本不同的数学书，平均分发给三名女生，有多少种分法？
（5）今有10个乒乓球（完全相同）分发给这7名同学，每人至少一个，问有多少种不同的分发？
（6）4名男生互赠不同的纪念品（自己不拿自己的），有多少种不赠送方式？

Answer 1

【答案】分析：（1）从5个人中选两个排在甲和乙之间，甲、乙位置可以互换，故这四个人的排列数有A₅²A₂²．将这四人看成一个整体，与剩余3人共4个元素排列，故有A₄⁴种排列方式，相乘得到结果．
（2）男生甲的站法数有C₅¹种，对每一种，女生乙、丙相邻的站法均为4种，相乘的结果．
（3）若甲乙相邻，则将甲、乙看成一个整体，相当于只剩下6个人的全排列，而甲、乙可互换．考虑其中丙、丁再相邻的情况，相减得到结果．
（4）将6本书平均分为三堆，则必有一堆含有A，故只需再选一本与之搭档，选择以后必有一堆含有B或C或D或E或F，
只需再选一本与之塔档，再将其分给三个女生，根据分步计数原理得到结果．
（5）本题要使用挡板法，在10个乒乓球所产生的9个“空档”中选出6个“空档”插入档板，即产生符合要求的方法数．
（6）第一个人有C₃¹种赠法，而被赠的人除自己外仍有3种赠，这样剩下的两人仅有一种赠法符合要求，故有3C₃¹种．
解答：解：（1）甲、乙中间两人的排列数为A₅²，
而甲、乙位置可以互换，故这四个人的排列数有A₅²A₂²．
将这四人看成一个整体，与剩余3人排站，故有A₄⁴种排列方式．
∴不同站法有A₅²A₂²A₄⁴=960种．（2分）
（2）男生甲的站法数有C₅¹种，对每一种，
女生乙、丙相邻的站法（不计顺序）均为4种，
所以不同站法数为C₅¹C₄¹A₂²A₄⁴=960．（2分）
（3）若甲、乙相邻，则将甲、乙看成一个整体，
则总共的排法数为A₂²A₆⁶=1440（相当于只剩下6个人的全排列，而甲、乙可互换）．
考虑其中丙、丁再相邻的情况，同上述方法可知有A₂²A₂²A₅⁵=480种，
∴符合要求的排法有1440-480=960．（2分）
（4）将6本书平均分为三堆，则必有一堆含有A（A、B、C、D、E、F为这六本书），
故只需再选一本与之搭档，选择以后必有一堆含有B或C或D或E或F，
只需再选一本与之塔档，故分法数为C₅¹C₃¹=15种．
再将其分给三个女生，共有15×A₃³=90种．（2分）
（5）问题可转化为将10个乒乓球排成一列，再分成7堆，每堆至少一个，求其方法数．
事实上，只需在上述10个乒乓球所产生的9个“空档”中选出6个“空档”插入档板，
即产生符合要求的方法数．故有C₉⁶=84种．（2分）
（6）第一个人有C₃¹种赠法，而被赠的人除自己外仍有3种赠，
这样剩下的两人仅有一种赠法符合要求，故有3C₃¹=9种．（2分）
点评：本题考查排列组合的实际应用，本题是一个包含的情况比较多的问题，用到我们解决排列组合问题的各种方法，本题解题的关键是由实际问题转化为数学问题，本题是一个中档题目．