Question

已知命题p：?x∈R，x²+2x-m=0；命题q：?x∈R，mx²+mx+1＞0．
（Ⅰ）若命题p为真命题，求实数m的取值范围；
（Ⅱ）若命题q为假命题，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）若命题p∨q为真命题，且p∧q为假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,全称命题

专题：简易逻辑

分析：（ I）若命题p为真命题，则x²+2x-m=0有实数根，根据△≥0，解出即可；
（II）若命题q为假命题，通过讨论（1）m=0时，（2）m＞0时，（3）m＜0时的情况，从而得到答案．
（III）通过讨论“p真，q假”或“p假，q真”的情况，得到不等式组，解出即可．

解答： 解：（ I）若命题p为真命题，则x²+2x-m=0有实数根，
∴△=4+4m≥0，解得：m≥-1，
即m的取值范围为[-1，+∞）；
（II）若命题q为假命题，则
（1）m=0时，不合题意；          
（2）m＞0时，△=m²-4m≥0，解得：m≥4；       
（3）m＜0时，符合题意．                
综上：实数m的取值范围为（-∞，0）∪[4，+∞）．
（III）由（ I）得p为真命题时，m≥-1；p为假命题时，m＜-1，
由（II）得q为真命题时，0≤m＜4；q为假命题时，m＜0或m≥4，
∵p∨q为真命题，且p∧q为假命题，∴“p真，q假”或“p假，q真”
∴

m≥-1 m＜0或m≥4

或

m＜-1 0≤m＜4

，
解得实数m的取值范围为[-1，0）∪[4，+∞）．

点评：本题考查了复合命题的真假，考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想，是一道基础题．