Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=（1+

1

n

）a_n+

n+1

2n

．
（1）设b_n=

an

n

，求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，即b_n+1=b_n+

1

2n

，由此能够推导出所求的通项公式．
（2）由题设知a_n=2n-

n

2n-1

，故S_n=（2+4+…+2n）-（1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

），设T_n=1+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，由错位相减法能求出T_n=4-

n+2

2n-1

．从而导出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答：解：（1）由已知得b₁=a₁=1，且

an+1

n+1

=

an

n

+

1

2n

，
即b_n+1=b_n+

1

2n

，从而b₂=b₁+

1

2

，
b₃=b₂+

1

22

，
b_n=b_n-1+

1

2n-1

（n≥2）．
于是b_n=b₁+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

=2-

1

2n-1

（n≥2）．
又b₁=1，
故所求的通项公式为b_n=2-

1

2n-1

．
（2）由（1）知a_n=2n-

n

2n-1

，
故S_n=（2+4++2n）-（1+

2

2

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

），
设T_n=1+

2

21

+

3

22

+

4

23

+…+

n

2n-1

，①

1

2

T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

，②
①-②得，

1

2

T_n=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2-

2

2n

-

n

2n

，
∴T_n=4-

n+2

2n-1

．
∴S_n=n（n+1）+

n+2

2n-1

-4．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，解题时要注意错位想减法的合理运用．