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如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，当点B位于何处时，图书馆的占地面积最大，最大面积是多少？

解：设OB与OM之间的夹角为θ，由题意可知，点M为PQ弧的中点，所以OM⊥AD．
设OM于BC的交点为F，则BC=2Rsinθ，OF=Rcosθ．…..（4分）
∴AB=OF- $\text{[math]}$ AD=Rcosθ-Rsinθ …..（6分）
所以S=AB•BC=2Rsinθ（Rcosθ-Rsinθ ）=R²（2sinθcosθ-2sin²θ）= $\text{[math]}$ R²sin（2θ+ $\text{[math]}$ ）-R²， $\text{[math]}$ ，
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ …..（11分）
所以当 $\text{[math]}$ ，即θ= $\text{[math]}$ 时，S有最大值．
即 $\text{[math]}$ ．…..（14分）
答：当 $\text{[math]}$ 时，图书馆的占地面积最大，最大值为 $\text{[math]}$ ．…..（15分）
分析：设OB与OM之间的夹角为θ，利用S=AB•BC，求出面积，利用二倍角公式、辅助角公式化简函数，即可求得结论．
点评：本题考查函数模型的构建，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（I）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ的函数．
（II）若R=45m，求当θ为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（精确到0.01m²）

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科目：高中数学 来源： 题型：

如图所示，某市政府决定在以政府大楼O为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆．为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼．设扇形的半径OM=R，∠MOP=45°，OB与OM之间的夹角为θ．
（1）将图书馆底面矩形ABCD的面积S表示成θ 的函数．
（2）求当θ 为何值时，矩形ABCD的面积S有最大值？其最大值是多少？（用含R的式子表示）