Question

△ABC中，

AC

=(1+cosα，sinα)，

BC

=(cosα，1+sinα)，α∈(0，

π

2

)．
（1）求：|

AB

|及∠C的大小；
（2）求：△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）由已知中向量

AC

=(1+cosα，sinα)，

BC

=(cosα，1+sinα)，我们可以计算出向量

AB

的坐标，代入向量坐标公式，即可求出答案，再由cosC=

AC • BC

| AC |•| BC |

结合三角函数恒等变换，我们求出C的余弦值，进而求出C的大小．
（2）由已知中向量

AC

=(1+cosα，sinα)，

BC

=(cosα，1+sinα)，我们求出cosA，代入S=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sinA，根据α∈（0，

π

2

），利用换元法，易求出函数的最值，进而得到△ABC的面积S的最大值．

解答：解：（1）∵

AC

=(1+cosα，sinα)，

BC

=(cosα，1+sinα)，
∴

AB

=

AC

-

BC

=（1，-1）
∴|

AB

|=

2

，
∵cosC=

AC • BC

| AC |•| BC |

=

1+sinα+cosα

2 (1+sinα)•(1+cosα)

=

2

2

C=45°；
（2）∵|

AC

|=

2+2cosα

，
∴

AB

•

AC

=1+cosα-sinα，
∴cosA=

AC • AB

| AC |•| AB |

=

1+cos-sinα

2 (1+cosα)

∴cos²A=

1-sinα+cos-sinα•cos

2(1+cosα)

=

1-sinα

2

，
∴sinA=

1+sinα 2

，
∴S=

1

2

|

AB

|•|

AC

|•sinA
=

(1+sinα)•(1+cosα) 2

，α∈（0，

π

2

），
设t=sinα+cosα，则sinα•cosα=

t2-1

2

，t∈（1，

2

]，
∴S=

1+t+ t2-1 2 2

=

t +1

2

，
当t=

2

时，S取最大值

2  +1

2

．
∴Smax=

2 +1

2

．

点评：本题考查的知识点是向量数量积，向量夹角公式，三角函数的最值，三角函数的恒等变换，是平面向量与三角函数比较综合的考查，难度较大．解答时，要注意已知中各向量对应的有向线段是三角形的边．