Question

如图，已知点A（2，0），B（1，0），点D，E同时从点B出发沿单位圆O逆时针运动，且点E的角速度是点D的角速度的2倍．设∠BOD=θ，0≤θ＜2π
（Ⅰ）当∠BOD=

π

6

，求四边形ODAE的面积；
（Ⅱ）将D、E两点间的距离用f（θ）表示，并求f（θ）的单调区间．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由S_ODAE=S_△OAE-S_△OAD，关键分别求出相应三角形的面积；（Ⅱ）由条件点D，E都从点B同时出发沿单位圆O逆时针运动，且点E的角速度是点D的角速度的2倍，用坐标表示点，从而表达出f（θ）表示，再求f（θ）的单调区间．

解答：解：（Ⅰ）当∠BOD=

π

6

时，∠BOE=

π

3

即D(

1

2

，

3

2

)，E(

3

2

，

1

2

)SODAE=S△OAE-S△OAD=

1

2

×2×

3

2

-

1

2

×2×

1

2

=

3 -1

2

；
（Ⅱ）∵点D，E都从点B同时出发沿单位圆O逆时针运动，且点E的角速度是点D的角速度的2倍．
∴∠BOE=2∠BOD，∠BOD=θ，∠BOE=2θ，0≤θ＜2π
由三角函数的定义可知，点D（cosθ，sinθ），E（cos2θ，sin2θ）
f(θ)=

(cos2θ-cosθ)2+(sin2θ-sinθ)2

=

2-2(cos2θcosθ+sin2θsinθ)

=

2(1-cosθ)

=2|sin

θ

2

|
∵0≤θ＜2π，∴0≤

θ

2

＜π，sin

θ

2

≥0，∴f(θ)=2sin

θ

2

由0≤

θ

2

≤

π

2

得：0≤θ≤π，由

π

2

＜

θ

2

＜π得：π＜θ＜2π
∴f（θ）的单调递增区间是[0，π]，单调递减区间是（π，2π）．

点评：本题主要考查再实际问题中建立三角函数模型，考查三角函数的定义及化简，有一定的综合性．