Question

（2012•杨浦区一模）已知在正四棱锥P-ABCD中（如图），高为1cm，其体积为4cm³，求异面直线PA与CD所成角的大小．

Answer 1

分析：连接AC、BD交于O点，连接PO．根据锥体体积公式，结合题中数据可算出正四棱锥的底面边长，从而用勾股定理算出PA长，然后在△PAB中，利用余弦定理计算出∠PAB的余弦值，因为CD∥AB，所以这个余弦值就是PA与CD所成角θ的余弦值，从而得到异面直线PA与CD所成角的大小．

解答：解：连接AC、BD交于O点，连接PO，则PO就是正四棱锥的高
设异面直线PA与CD所成角的大小θ，底边长为a，
则依题意得，正四棱锥P-ABCD体积为V=

1

3

a²×1=4      …（4分）
∴a=2

3

，可得AC=2

6

Rt△PAO中，OA=

6

，PO=1
∴PA=

12+( 6 )2

=

7

        …（7分）
因为CD∥AB，所以直线PA与AB所成的锐角就是PA与CD所成角θ．     …（9分）
△PAB中，PA=PB=

7

，AB=2

3

，
∴cos∠PAB=

7+12-7

2× 7 ×2 3

=

21

7

，即cosθ=

21

7

，
所以PA与CD所成角θ=arccos

21

7

．        …（12分）

点评：本题给出一个正四面体，叫我们求异面直线所成角，着重考查了正棱锥的性质、余弦定理和异面直线所成角的求法等知识，属于基础题．