Question

如图，过点（0，a³）（0＜a＜2）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A，B两点，AD，BC垂直于直线y=-8，垂足分别为D、C，求矩形ABCD面积的最大值．

Answer 1

分析：设切点为（x₀，y₀），则y₀=-ax₀²，把点（0，a³）代入切线方程求得x₀=±a，y₀=-a³，可得AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面积为S=16a-2a⁴（0＜a＜2 ），由S'=16-8a³，可得当a=

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时，S有最大值为12

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．

解答：解：设切点为（x₀，y₀），则y₀=-ax₀²．
因为y'=-2ax，所以切线方程为y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax₀²=-2ax₀（x-x₀），---（2分）
因为切线过点（0，a³），所以a³+ax₀²=-2ax₀（0-x₀），即a³=ax₀²，于是x₀=±a．-----（2分）
将代入 y₀=-ax₀² 得，y₀=-a³．-----（2分）
（若设切线方程为y=kx+a³，代入抛物线方程后由△=0得到切点坐标，亦予认可．）
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形面积为S=16a-2a⁴（0＜a＜2）．----（3分）
于是S'=16-8a³．所以当0＜a＜

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时，S'＞0；当

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＜a＜2时，S'＜0；
故当a=

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时，S有最大值为12

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．----（3分）

点评：本题主要考查抛物线的标准方程，以及简单性质的应用，函数在某一点的导数的几何意义，利用导数判断函数的单调性，利用单调性求函数的最值．