Question

过点M（2，4）作互相垂直的两条直线，直线l₁与x轴正半轴交于点A，直线l₂与y轴正半轴交于点B．
（1）当△AOB的面积达到最大值时，求四边形AOBM外接圆方程；
（2）若直线AB将四边形OAMB分割成面积相等的两部分，求△AOB的面积．

Answer 1

分析：（1）分两种情况：当直线l₁的斜率不存在时，直线l₁与x轴垂直，直线l₂与y轴垂直，三角形AOB是直角边为2和4的直角三角形，所以面积等于4；当直线l₁的斜率存在时，设出直线l₁的斜率为k，则直线l₂的斜率为-

1

k

，两直线都过M（2，4），所以分别写出两直线的方程，分别令x=0和y=0即可求出A和B的坐标，然后根据三角形的面积公式表示出三角形的面积S（k）与k的二次函数关系式，根据k等于-

b

2a

的时候，S（k）有最大值，最大值为

4ac-b2

4a

，并比较其最大值与4的大小即可判断出斜率存在时面积最大，利用此时的k值即可求出A和B的坐标，根据90°的圆周角所对的弦是直径，得到AB为四边形AOBM外接圆的直径，所以利用中点坐标公式求出线段AB的中点坐标即可得到圆心坐标，利用两点间的距离公式求出|AB|的长度，除以2即可得到圆的半径，根据圆心和半径写出四边形AOBM外接圆的标准方程即可；
（2）分两种情况：当直线l₁的斜率不存在时，四边形OAMB面积等于8，所以△AOB的面积的面积等于4；当直线l₁的斜率存在时，连接OM，把四边形分成两个三角形OMB和三角形AOM，然后利用三角形的面积公式，由（1）中A和B的坐标表示出四边形的面积，然后在利用A与B的坐标表示出三角形AOB的面积，并令四边形的面积等于三角形面积的2倍列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，进而得到A与B的坐标，即可求出此时三角形AOB的面积．

解答：解：（1）当直线l₁斜率不存在时，△AOB的面积等于4；
当直线l₁斜率存在时，可设其方程为y-4=k（x-2）．令y=0，得A(2-

4

k

，0)．
因与l₂互相垂直，故l₂方程为y-4=-

1

k

(x-2)．令x=0，得B(0，4+

2

k

)．
此时△AOB的面积S(k)=

1

2

(2-

4

k

)(4+

2

k

)=-

4

k2

-

6

k

+4．
于是当k=-

4

3

时，S（k）取最大值

25

4

．
由于

25

4

＞4，所以当△AOB的面积达到最大值时，A（5，0），B(0，

5

2

)．
AB的中点坐标即圆心坐标为（

0+5

2

，

0+ 5 2

2

）即（

5

2

，

5

4

），r=

1

2

|AB|=

1

2

52+( 5 2 )2

=

5 5

4

，
所以四边形AOBM外接圆方程为：(x-

5

2

)2+(y-

5

4

)2=

125

16

．
（2）当直线斜率l₁不存在时，四边形OAMB面积等于8，
△AOB的面积等于4，符合题意；
当直线斜率l₁存在时，由（1）知A(2-

4

k

，0)，B(0，4+

2

k

)．
四边形OAMB的面积为

1

2

(2-

4

k

)×4+

1

2

(4+

2

k

)×2=8-

6

k

．
于是有2(-

4

k2

-

6

k

+4)=8-

6

k

．解得k=-

4

3

．
此时A（5，0），B(0，

5

2

)．△AOB的面积等于

25

4

．
综上可知，△AOB的面积为4或

25

4

．

点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率的关系，考查了分类讨论的数学思想，同时要求学生掌握圆的一些基本性质，灵活运用两点间的距离公式及中点坐标公式化简求值，是一道综合题．学生做题时不要忽视斜率不存在时的情况．