Question

（2012•上海）对于项数为m的有穷数列{a_n}，记b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}（k=1，2，…，m），即b_k为a₁，a₂，…，a_k中的最大值，并称数列{b_n}是{a_n}的控制数列，如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．
（1）若各项均为正整数的数列{a_n}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有的{a_n}．
（2）设{b_n}是{a_n}的控制数列，满足a_k+b_m-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m），求证：b_k=a_k（k=1，2，…，m）．
（3）设m=100，常数a∈(

1

2

，1)，若an=an2-(-1)

n(n+1)

2

n，{b_n}是{a_n}的控制数列，求（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）．

Answer 1

分析：（1）根据题意，可得数列{a_n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；
（2）依题意可得b_k+1≥b_k，又a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，从而可得a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，整理即证得结论；
（3）根据an=an2-(-1)

n(n+1)

2

n，可发现，a_4k-3=a（4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，通过比较大小，可得a_4k-2＞a_4k-1，a_4k＞a_4k-2，而a_4k+1＞a_4k，a_4k-1-a_4k-2=（a-1）（8k-3），从而可求得（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）=（a₂-a₃）+（a₆-a₇）+…+（a₉₈-a₉₉）=

25

k=1

（a_4k-2-a_4k-1）=2525（1-a）．

解答：解：（1）数列{a_n}为：2，3，4，5，1；2，3，4，5，2；2，3，4，5，3；2，3，4，5，4，；2，3，4，5，5；…4分
（2）∵b_k=max{a₁，a₂，…，a_k}，b_k+1=max{a₁，a₂，…，a_k+1}，
∴b_k+1≥b_k…6分
∵a_k+b_m-k+1=C，a_k+1+b_m-k=C，
∴a_k+1-a_k=b_m-k+1-b_m-k≥0，即a_k+1≥a_k，…8分
∴b_k=a_k…10分
（3）对k=1，2，…25，
a_4k-3=a（4k-3）²+（4k-3），a_4k-2=a（4k-2）²+（4k-2），
a_4k-1=a（4k-1）²-（4k-1），a_4k=a（4k）²-4k，…12分
比较大小，可得a_4k-2＞a_4k-1，
∵

1

2

＜a＜1，
∴a_4k-1-a_4k-2=（a-1）（8k-3）＜0，即a_4k-2＞a_4k-1；
a_4k-a_4k-2=2（2a-1）（4k-1）＞0，即a_4k＞a_4k-2，
又a_4k+1＞a_4k，
从而b_4k-3=a_4k-3，b_4k-2=a_4k-2，b_4k-1=a_4k-2，b_4k=a_4k，…15分
∴（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b₁₀₀-a₁₀₀）
=（a₂-a₃）+（a₆-a₇）+…+（a₉₈-a₉₉）
=

25

k=1

（a_4k-2-a_4k-1）
=（1-a）

25

k=1

（8k-3）
=2525（1-a）…18分

点评：本题考查数列的应用，着重考查分析，对抽象概念的理解与综合应用的能力，对（3）观察，分析寻找规律是难点，是难题．