Question

已知问题“设正数x，y满足

1

x

+

2

y

=1，求x+y的最值”有如下解法；
设

1

x

=cos2α，

2

y

=sin2α，α∈(0，

π

2

)，
则x=sec²α=1+tan²α，y=2csc²α=2（1+cot²α），
所以，x+y=3+tan2α+2cot2α=3+tan2+

2

tan2α

≥3+2

2

，等号成立当且仅当tan2α=

2

tan2α

，即tan2α=

2

，此时x=1+

2

，y=2+

2

．
（1）参考上述解法，求函数y=

1-x

+2

x

的最大值．
（2）求函数y=2

x+1

-

x

(x≥0)的最小值．

Answer 1

分析：（1）令

1-x

=cosα，

x

= sinα，α∈(0，

π

2

)，y=cosα+2snα=

5

sin(α+θ)，结合正弦函数的性质可求函数的最大值
（2）令

x+1

=secα，

x

=tanα，α∈(0，

π

2

)，则y=2secα-tanα=

2

cosα

-

sinα

cosα

=

2-sinα

cosα

=-

sinα-2

cosα-0

，设k=

sinα-2

cosα-0

可以看成在单位圆（在第一象限的

1

4

圆周）上任取一点（cosα，sinα）与M（0，2）点的连线的斜率，结合图象可求最小值

解答：解：（1）令

1-x

=cosα，

x

= sinα，α∈(0，

π

2

)
y=cosα+2sinα=

5

sin(α+θ)（θ为辅助角）
函数的最大值

5

（2）令

x+1

=secα，

x

=tanα，α∈(0，

π

2

)
y=2secα-tanα=

2

cosα

-

sinα

cosα

=

2-sinα

cosα

=-

sinα-2

cosα-0

设k=

sinα-2

cosα-0

可以看成在单位圆（在第一象限的

1

4

圆周）上任取一点（cosα，sinα）与M（0，2）点的连线的斜率
结合图象可知，在MB位置时，函数斜率有最小值，此时直线MB与圆相切，此时斜率最大即-

sinα-2

cosα

取得最小值
设MB的直线为y=kx+2即kx-y-2=0
由直线与圆相切可得圆心（0，0）到直线MB的距离等于半径，即1=

2

1+k2

∴k=

3

（舍）或k=-

3

∴-

sinα-2

cosα

取得最小值为

3

即y=2

x+1

-

x

的最小值

3

点评：本题主要考查了三角函数的换元在求解函数的最值中的应用，（1）主要利用了辅助角公式及正弦函数的性质，（2）是构思非常巧妙的试题，注意题目中的几何意义的应用及求解圆的切线方程的求解，是一道好题