Question

定义在R上的函数f（x），当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），且满足下列条件：①f（1）=1，②f(

1

2

-x)+f(

1

2

+x)=1，③2f（x）=f（5x）、则f(

1

2010

)等于（　　）

• A、

  1

  16

• B、

  1

  32

• C、

  1

  64

• D、

  1

  2010

Answer 1

分析：由条件求出f（

1

2

），将条件③转化为f（

x

5

）=

1

2

f（x），重复使用此等式可得f（

1

3125

）=

1

32

，再重复使用此等式可得f（

1

1250

）=

1

32

，当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），而

1

3125

≤

1

2010

≤

1

1250

，f（

1

3125

）≤f（

1

2010

）≤f（

1

1250

），
可得所求的值．

解答：解：函数f（x）在[0，1]上是单调增函数，∵①f（1）=1，②f(

1

2

-x)+f(

1

2

+x)=1，
令x=

1

2

得，f（0）=0，令x=0，f（

1

2

）=

1

2

，
∵2f（x）=f（5x），∴f（

x

5

）=

1

2

f（x）
所以f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

f（

1

25

）=

1

2

f（

1

5

）=

1

4

，以此类推
f（

1

125

）=

1

8

，f（

1

625

）=

1

16

，f（

1

3125

）=

1

32

，
再用 f（

x

5

）=

1

2

f（x） 得，
f（

1

10

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，f（

1

50

）=

1

2

f（

1

10

）=

1

8

，f（

1

250

）=

1

16

，f（

1

1250

）=

1

32

，
当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），
而

1

3125

≤

1

2010

≤

1

1250

，∴f（

1

3125

）≤f（

1

2010

）≤f（

1

1250

），

1

32

≤f（

1

2010

）≤

1

32

所以，f（

1

2010

）=

1

32

；
故选B．

点评：本题考查函数的周期性、求函数值．