Question

在数列{a_n}中，a₁=0，且对任意k∈N^*，a_2k-1，a_2k，a_2k+1成等差数列，其公差为2k．
（Ⅰ）证明a₄，a₅，a₆成等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）记，证明．

Answer 1

【答案】分析：（I）由题设可知，a₂=2，a₃=4，a₄=8，a₅=12，a₆=18．从而，由此可知a₄，a₅，a₆成等比数列．
（II）由题设可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*．所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+（a₃-a₁）=2k（k+1），k∈N^*．由此可以推出数列{a_n}的通项公式．
（III）由题设条件可知a_2k+1=2k（k+1），a_2k=2k²，然后分n为偶数和n为奇数两种情况进行讨论，能够证明．
解答：（I）证明：由题设可知，a₂=a₁+2=2，a₃=a₂+2=4，
a₄=a₃+4=8，
a₅=a₄+4=12，
a₆=a₅+6=18．
从而，
所以a₄，a₅，a₆成等比数列；
（II）解：由题设可得a_2k+1-a_2k-1=4k，k∈N^*．
所以a_2k+1-a₁=（a_2k+1-a_2k-1）+（a_2k-1-a_2k-3）+…+（a₃-a₁）
=4k+4（k-1）+…+4×1
=2k（k+1），k∈N^*．
由a₁=0，得a_2k+1=2k（k+1），
从而a_2k=a_2k+1-2k=2k²．
所以数列{a_n}的通项公式为
或写为，n∈N^*．
（III）证明：由（II）可知a_2k+1=2k（k+1），a_2k=2k²，
以下分两种情况进行讨论：
（1）当n为偶数时，设n=2m（m∈N^*）
若m=1，则，若m≥2，
则
=
=．
所以，
从而，；
（2）当n为奇数时，设n=2m+1（m∈N^*）

=．
所以，从而，．
综合（1）和（2）可知，对任意n≥2，n∈N^*，有．
点评：本题主要考查等差数列的定义及前n项和公式、等比数列的定义、数列求和等基础知识，考查运算能力、推理论证能力、综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．