Question

如图，过椭圆中心的直线l与经椭圆长短轴端点的两条切线l₁，l₂分别交于点A、B，O是l₁与l₂的交点，△AOB被椭圆分成四部分，若这四部分图形的面积满足S₁+S₃=S₂+S₄，则直线l有（ ）

A．0条
B．1条
C．2条
D．3条

Answer 1

【答案】分析：由图可知，当直线绕中心从竖直方向逆时针旋转时，S₂-S₃的差是定值；S₁-S₄的差单调减小，当减小到S₁-S₄=S₂-S₃时，满足题目要求，继续减小时，不会再满足．所以这样的直线有且仅有一条．
解答：解：由图可知，当直线绕中心从竖直方向逆时针旋转时，
S₂的值恒为椭圆面积的一半，
S₃的值也不变，
即S₂-S₃的差是定值；
而S₁单调减小，
S₄单调增大，
则S₁-S₄的差单调减小，
当减小到S₁-S₄=S₂-S₃时，
满足题目要求，继续减小时，不会再满足．
所以这样的直线有且仅有一条．
故选B．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查数形结合思想，化归与转化思想．