Question

【题目】如图1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，∠ADC=90°，AB⊥EC，AB=EB=1， ．将△ABE沿AB折到△ABE1的位置，使∠BE1C=90°．M，N分别为BE1 ， CD的中点．如图2．

（1）求证：MN∥平面ADE1；
（2）求证：AM⊥E1C；
（3）求平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由题意，以E1为原点，E1B为x轴，E1C为y轴，过E1作平面E1BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则M（ ，0，0），N（0，1， ），E1（0，0，0），A（1，0，1），D（0，1，1），

=（﹣ ，1， ）， =（1，0，1）， =（0，1，1），

设平面ADE1的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=1，得 =（1，1，﹣1），

∵ =﹣ =0，∴ ⊥ ，

又MN平面ADE1，∴MN∥平面ADE1．

（2）证明：C（0，1，0）， =（﹣ ，0，﹣1）， =（0，1，0），

∴ =0，

∴AM⊥E1C．

（3）解： =（1，0，1）， =（0，1， ），

设平面AE1N的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=2，得 =（2，1，﹣2），

又平面BE1C的法向量 =（0，0，1），

cos＜ ＞= = ，

∴平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值为 ．

【解析】（1）由题意，以E1为原点，E1B为x轴，E1C为y轴，过E1作平面E1BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AM⊥E1C．（3）求出平面AE1N的法向量和平面BE1C的法向量，利用向量法能求出平面AE1N与平面BE1C所成锐二面角的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；简记为：线线平行，则线面平行)．