Question

如图,已知直平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的底面是边长为4的菱形,∠BAD=60°,E为AB的中点,A₁E与平面ABCD所成的角为60°.

(1)求证:平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁;

(2)求点B₁到平面A₁DE的距离;

(3)求二面角A₁-DE-C₁的大小.

Answer 1

解法一：(1)证明:连结BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是正三角形.∵E为AB的中点,∴DE⊥AB.

又在直平行六面体ABCDA₁B₁C₁D₁中,AA₁⊥平面ABCD,

∵DE平面ABCD,∴AA₁⊥DE.                                             

∵AA₁∩AB=A,∴DE⊥平面ABB₁A₁.

∵DE平面A₁DE,∴平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁.                                

(2)解:过点B₁作B₁G⊥A₁E于G点.

∵平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁,且平面A₁DE∩平面ABB₁A₁=A₁E,

∴B₁G⊥平面A₁DE,B₁G即为点B₁到平面A₁ED的距离.                         

∵AA₁⊥平面ABCD,∴∠A₁EA为A₁E与平面ABCD所成的角.

∴∠A₁EA=60°.∴∠B₁A₁G=60°.

在Rt△A₁B₁G中,B₁G=A₁B₁sin60°=4×,

∴点B₁到平面A₁ED的距离为2.                                          

〔另法提示:可用体积法求点B₁到平面A₁ED的距离〕

(3)解:分别延长AB、A₁B₁至H、H₁,使BH=B₁H₁=2,连结CH、C₁H₁、EH₁、HH₁.

∵EH=DC,EH∥DC,

∴四边形EHCD为平行四边形.∴ED∥HC.

同理,H₁C₁∥HC,∴ED∥H₁C₁.∴E、H₁、C₁、D四点共面.

由(1)知DE⊥平面ABB₁A₁,EA₁、EH₁平面ABB₁A₁,

∴DE⊥EA₁,DE⊥EH₁.∴∠A₁EH₁为二面角A₁EDC₁的平面角.                    

在Rt△A₁AE中,由∠A₁EA=60°,AE=2,可得AA₁=2,A₁E=4.

在Rt△H₁HE中,HH₁=2,EH=4,?

?∴EH₁=2.

在△A₁EH₁中,cos∠A₁EH₁=

∠A₁EH₁=arccos.

∴二面角A₁-ED-C₁的大小为arccos.                                        

〔另法提示:也可由∠A₁EH₁=-∠HEH₁,得出∠A₁EH₁=-arctan〕

解法二：连结BD.∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴△ABD是正三角形.

∵E为AB的中点,

∴DE⊥AB,DE=.

∴DE⊥DC.

∵AA₁⊥平面ABCD,

∴∠A₁EA为A₁E与平面ABCD所成的角.

∴∠A₁EA=60°.又AA₁⊥AE,AE=2,

∴A₁A=,A₁E=4.                                                         

(1)证明:以点D为坐标原点,DE、DC、DD₁所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,

则E(2,0,0),C(0,4,0),D₁(0,0,2),A(2,-2,0),A₁(2,-2,23),B(2,2,0),B₁(2,2, 2),C₁(0,4,2).

∴=(2,0,0),=(0,0,2),=(0,4,0).

∴=(2,0,0)·(0,0,2)=0,

=(2,0,0)·(0,4,0)=0.

∴.                                                    

∵AA₁∩AB=A,∴DE⊥平面ABB₁A₁.

∵DE平面A₁DE,∴平面A₁DE⊥平面ABB₁A₁.                                 

(2)同解法一.                                                               

(3)解:由(1)知,DE⊥平面ABB₁A₁,∴DE⊥平面CDD₁C₁.

∴DE⊥EA₁,DE⊥DC₁.

∴〈〉为二面角A₁-ED-C₁的平面角.                                 

又=(0,-2,2),=(0,4,2),

∴=(0,-2,2)·(0,4,2)=4.

∴cos〈〉=.

∴二面角A₁-ED-C₁的大小为arccos.                                        

〔另法提示:本题也可用法向量夹角来求解,但必须根据法向量的方向来说明所求二面角的大小与法向量夹角大小之间的关系〕。