Question

已知椭圆C中心在原点、焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+m（k≠0）与椭圆交于不同的两点M、N（M、N不是左、右顶点），且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A．求证：直线l过定点，并求出定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由题设条件可知解得，由此能够推导出椭圆C的标准方程．
（Ⅱ）由方程组消去y，得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，然后结合题设条件利用根的判别式和根与系数的关系求解．
解答：解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a，半焦距为c，
则解得
∴椭圆C的标准方程为．
（Ⅱ）由方程组消去y，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0
由题意：△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0
整理得：3+4k²-m²＞0 ①
设M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），
则，
由已知，AM⊥AN，且椭圆的右顶点为A（2，0）
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0
即（1+k²）x₁x₂+（km-2）（x₁+x₂）+m²+4=0
也即
整理得：7m²+16mk+4k²=0
解得：m=-2k或，均满足①
当m=-2k时，直线l的方程为y=kx-2k，过定点（2，0），舍去
当时，直线l的方程为，过定点，
故直线l过定点，且定点的坐标为．
点评：本题综合考查椭圆的性质及应用和直线与椭圆的位置关系，具有较大的难度，解题时要注意的灵活运用．