Question

2．已知：α∥β，点P是平面α，β外一点，从点P引三条不共面的射线PA，PB，PC，与平面α分别相交于点A，B，C，与平面β分别相交于A′，B′，C′，求证：△ABC∽△A′B′C′．

Answer 1

分析 由α∥β，得AB∥A'B'，BC∥B'C'，AC∥A'C'，由此利用平行分线段成比例定理能证明$\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}=\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$，由此能证明△ABC∽△A′B′C′．

解答 证明：由题意可知P、A、B、A'、B'在同一平面内，
∵α∥β，∴AB∥A'B'，
∴$\frac{PA}{P{A}^{'}}$=$\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}$=$\frac{PB}{P{B}^{'}}$，
由题意可知P、B、C、B'、C'在同一平面内，
∵α∥β，∴BC∥B'C'，
∴$\frac{PB}{P{B}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$
∴由题意可知P、A、C、A'、C'在同一平面内，
∵α∥β，∴AC∥A'C'，
∴$\frac{PA}{P{A}^{'}}$=$\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}$
∴$\frac{AB}{{A}^{'}{B}^{'}}=\frac{AC}{{A}^{'}{C}^{'}}=\frac{BC}{{B}^{'}{C}^{'}}$，
∴△ABC∽△A′B′C′．

点评 本题考查两个三角形相似的证明，是基础题，解题时要认真审题，注意平行分线段成比例定理的合理运用．