Question

已知点B₁(1，y₁)，B₂(2，y₂)，…，B_n(n，y_n)，…(n∈N^*)顺次为直线y＝上的点，点A₁(x₁，0)，A₂(x₂，0)，…A_n(x_n，0)，…(n∈N^*)顺次为轴上的点，其中x₁＝a(0＜a＜1)，对任意的n∈N^*，点A_n、B_n、A_n+1构成以B_n为顶点的等腰三角形．

(Ⅰ)证明：数列{y_n}是等差数列；

(Ⅱ)求证：对任意的n∈N^*，x_n+2－x_n是常数，并求数列{x_n}的通项公式；

(Ⅲ)在上述等腰三角形A_nB_nA_n+1中是否存在直角三角形，若存在，求出此时a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(Ⅰ)依题意有，于是． 　　所以数列是等差数列　2分 　　(Ⅱ)由题意得，即，()　① 所以又有．②　4分 　　由②①得， 　　可知都是等差数列．那么得 　　， 　　( 　　故　8分 　　(Ⅲ)当为奇数时，，所以 　　当为偶数时，所以 　　作轴，垂足为则，要使等腰三角形为直角三角形，必须且只需． 　　当为奇数时，有，即　① 　　当时，；当时，；当，①式无解． 　　当为偶数时，有，同理可求得． 　　综上所述，上述等腰三角形中存在直角三角形，此时的值为或或．　12分