Question

7．设函数f（x）=3sin（$\frac{π}{2}$x+$\frac{π}{4}$），若存在这样的实数x₁，x₂，对任意的x∈R，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂）成立，则|x₁-x₂|的最小值为2．

Answer 1

分析 由已知可知f（x₁）是f（x）中最小值，f（x₂）是值域中的最大值，它们分别在最高和最低点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．

解答 解：∵对任意x∈R都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₂），
∴f（x₁）是最小值，f（x₂）是最大值；
∴|x₁-x₂|的最小值为函数的半个周期，
∵T=4，
∴|x₁-x₂|的最小值为2，
故答案为：2．

点评 本题是对函数图象的考查，我们只有熟悉三角函数的图象，才能解决好这类问题，同时，其他的性质也要借助三角函数的图象解决，本章是数形结合的典型．