Question

设椭圆E中心在原点，焦点在x轴上，短轴长为4，点Q（2，）在椭圆上.

（1）求椭圆E的方程；

（2）设动直线L交椭圆E于A、B两点，且，求△OAB的面积的取值范围.

（3）过M（）的直线:与过N（）的直线:

的交点P（）在椭圆E上，直线MN与椭圆E的两准线分别交于G，H两点，求·的值.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）－8.

【解析】试题分析：（1）由已知b＝2，再由点Q在曲线上，可求得a的值；（2）设直线方程为y＝kx＋m，根据，可得k与m的关系，然后用m和k表示出三角形面积，利用均值定理可求其范围，注意不要漏掉斜率不存在的情况；（3）利用l1、l2的交点找出x0，y0的关系，然后将表示为x0，y0的表达式求值.

解析：（1）因为椭圆E: （a>b>0）过M（2，） ，2b＝4

故可求得b＝2，a＝2 椭圆E的方程为 3分

（2）设P（x，y），A（x1，y1），B（x2，y2），当直线L斜率存在时设方程为，

解方程组得，即，

则△＝，

即（*）

，

要使，需使，即，

所以， 即 ①

将它代入（*）式可得

P到L的距离为

又

将及韦达定理代入可得

当时

由 故

当时，

当AB的斜率不存在时， ，综上S 8分

（3）点P（）在直线:和：上，

，

故点M（）N（）在直线上

故直线MN的方程，上

设G，H分别是直线MN与椭圆准线，的交点

由和得G（－4，）

由和得H（4，）

故·＝－16＋

又P（）在椭圆E：

有故

·＝－16＋＝－8 13分

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，平面向量