Question

已知椭圆经过点A（2，1），离心率为，过点B（3，0）的直线l与椭圆交于不同的两点M，N．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若，求直线MN的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据椭圆经过点A（2，1），离心率为，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）设出MN的方程，与椭圆方程联立，利用，可直线MN的斜率，从而可得直线MN的方程．
解答：解：（Ⅰ）由题意有 ，，a²-b²=c²，
解得，，
所以椭圆方程为…（6分）
（Ⅱ）由直线MN过点B且与椭圆有两交点，可设直线MN方程为y=k（x-3），
代入椭圆方程整理得（2k²+1）x²-12k²x+18k²-6=0…（8分）
△=24-24k²＞0，得k²＜1
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，
∴=
解得，所求直线方程为…（14分）
点评：本题考查轨迹方程的求法，考查值域与椭圆的位置关系，关键是看清题中给出的条件，灵活运用韦达定理求弦长．